Let　r　＞=　3　be　an　integer　such　that　r　-　2　is　a　prime　power　and　let　H　be　a　connected　graph　on　n　vertices　with　average　degree　at　least　d　and　alpha(H)　＜=　beta　n,　where　0　＜　beta　＜　1　is　a　constant.　We　prove　that　the　size　Ramsey　number　(R)　over　cap　(H;　r)　＞　nd/(r　-　2)(2)　-　C　root　n　for　all　sufficiently　large　n,　where　C　is　a　constant　depending　only　on　r,　d　and　beta.　In　particular,　for　integers　k　＞=　1,　and　r　＞=　3　such　that　r　-　2　is　a　prime　power,　we　have　that　there　exists　a　constant　C　depending　only　on　r　and　k　such　that　(R)　over　cap　(P-n(k);　r)　＞　kn(r　-　2)(2)　-　C　root　n　-　(k(2)　+　k)/2　for　all　sufficiently　large　n,　where　P-n(k)　is　the　kth　power　of　P-n.