Let　G　be　a　graph　and　(V1,　V2,　⋯　,　Vk)　be　a　k-partition　of　G.　For　1　⩽　i＜　j⩽　k,　the　ratio　of　(Vi,　Vj)　,　denoted　by　R(Vi,　Vj)　,　is　e(Vi,　Vj)　/　(|　Vi|　|　Vj|)　,　where　e(Vi,　Vj)　is　the　number　of　crossing　edges.　The　minimum　k-ratio　of　G,　denoted　by　Rk(G)　,　is　the　minimum　∑　1⩽i　0.　©　2023,　Operations　Research　Society　of　China,　Periodicals　Agency　of　Shanghai　University,　Science　Press,　and　Springer-Verlag　GmbH　Germany,　part　of　Springer　Nature.