Let　H　delta　infinity　be　the　Hausdorff　content　on　Rnof　order　delta　E　(0,　n].　For　the　space　BMO(H　delta　infinity)　of　bounded　mean　oscillation　that　is　defined　with　respect　to　H　delta　infinity,　the　authors　establish　its　equivalent　characterizations　via　replacing　the　L1(H　delta　infinity)-integrability　in　its　definition　by　the　Luxemburg　type　L　phi(H　delta　infinity)-integrability,　where　phi　can　be　either　a　convex　or　a　concave　nonnegative　function.　Typical　examples　of　phi　include　phi(t)　=　tp,　phi(t)　=　ept　-　1　and　phi(t)　=　log+　o　　　　o　log+　t,　where　p　E　(0,　oo)　and　log+　t　:=　max{log　t,　0}.　(c)　2025　Elsevier　Inc.　All　rights　are　reserved,　including　those　for　text　and　data　mining,　AI　training,　and　similar　technologies.