For　graphs　H　(1)　and　H　(2)　,　the　Ramsey　number　r(H-1,　H　(2)　)　is　the　smallest　positive　integer　N　such　that　any　graph　G　on　N　vertices　contains　H　(1)　as　a　subgraph,　or　its　complement　contains　H　(2)　as　a　subgraph.　Let　B　((k))　(n)　denote　the　book　graph　on　n　+　k　vertices　which　consists　of　n　copies　of　K　(k　+1)　all　sharing　a　common　K　(k)　,　and　let　H　:=　K-p(a(1),　...,　a(p))　be　the　complete　p-partite　graph　with　parts　of　sizes　a　1　,...　,　a　p　.　Recently,　strengthening　a　result　of　Fox,　He　and　Wigderson　(　Adv.　Combin.　4　(2023),　21pp),　Fan　and　Lin　(J.　Combin.　Theory　Ser.　A　199(2023),　19pp)　showed　that　for　every　k,　p,　t　＞=　2,　there　exists　delta　＞　0　such　that　the　following　holds　for　all　large　n　.　Let　1　＜=　a　(1)　＜=　center　dot　center　dot　center　dot　＜=　a　(p　-1)　＜=　t　and　a(p)　＜=　delta　n　be　positive　integers.　If　a　(1)　=　1,　then　r(H,　B　((k))　(n)　)　＜=　(p　-　1　)(　n　+　ka　(2)　-　1　)　+　1.　The　inequality　is　tight　if　n　equivalent　to　1　(　mod　a　2　)　.　In　this　paper,　we　improve　the　above　upper　bounds　for　the　cases　when　n　equivalent　to　2　(　mod　a　2　)　and　n　equivalent　to　3　(　mod　a　(2)　)　.　Combining　the　new　upper　bounds　and　constructions　of　the　lower　bounds　for　these　cases,　we　are　able　to　determine　the　exact　values　of　r　(　K　(p)　(　a　(1)　,...　,a(p)),　B　(n)　((k))　)　when　p　=　3.　The　bound　on　1/delta　we　obtain　is　not　of　tower-type　since　our　proof　does　not　rely　on　the　regularity　lemma.