The　classical　criterion　of　asymptotic　stability　of　the　zero　solution　of　equations　x＇　=　f　(t,　x)　is　that　there　exists　a　function　V(t,　x),　a(parallel　to　x　parallel　to)　＜=　V(t,　x)　＜=　b(parallel　to　x　parallel　to)　for　some　a,　b　is　an　element　of　K,　such　that　V(t,　x)　＜=　-c(parallel　to　x　parallel　to)　for　some　c　is　an　element　of　K.　In　this　paper　we　prove　that　if　f(t,　x)　is　bounded,　(t,　x)　is　uniformly　continuous　and　bounded,　then　the　condition　that　V(t,　x)　＜=　-c(parallel　to　x　parallel　to)　can　be　weakened　and　replaced　by　V(t,　x)　＜=　0　and　{(t,　x):　x　not　equal　0,　V(t,　x)　=　0}　contains　no　complete　trajectory　of　x＇　=　f　(t,　x),　t　is　an　element　of　[-T,　T],　where　V(t,　x)　=　lim(k　-＞infinity)　V(t　+　t(k),　x),　f(t,　x)　=　lim(k　-＞infinity)　f　(t　+　t(k),　x)　uniformly　for　(t,　x)　is　an　element　of　[-T　T]　x　B-H.　(c)　2006　Elsevier　Inc.　All　rights　reserved.