The　classical　criterion　of　asymptotic　stability　of　the　zero　solution　of　equations　x′　=　f　(t,　x)　is　that　there　exists　a　function　V　(t,　x),　a　({norm　of　matrix}　x　{norm　of　matrix})　≤　V　(t,　x)　≤　b　({norm　of　matrix}　x　{norm　of　matrix})　for　some　a,　b　∈　K,　such　that　over(V,　̇)　(t,　x)　≤　-　c　({norm　of　matrix}　x　{norm　of　matrix})　for　some　c　∈　K.　In　this　paper　we　prove　that　if　f　(t,　x)　is　bounded,　over(V,　̇)　(t,　x)　is　uniformly　continuous　and　bounded,　then　the　condition　that　over(V,　̇)　(t,　x)　≤　-　c　({norm　of　matrix}　x　{norm　of　matrix})　can　be　weakened　and　replaced　by　over(V,　̇)　(t,　x)　≤　0　and　{(t,　x)　:　x　≠　0,　over(over(V,　̄),　̇)　(t,　x)　=　0}　contains　no　complete　trajectory　of　x′　=　over(f,　̄)　(t,　x),　t　∈　[-　T,　T],　where　over(V,　̄)　(t,　x)　=　limk　→　∞　V　(t　+　tk,　x),　over(f,　̄)　(t,　x)　=　limk　→　∞　f　(t　+　tk,　x)　uniformly　for　(t,　x)　∈　[-　T,　T]　×　BH.　©　2006　Elsevier　Inc.　All　rights　reserved.