Let　be　a　directed　graph.　A　transitive　fraternal　augmentation　of　(G)　over　bar　is　a　directed　graph　(H)　over　bar　with　the　same　vertex　set,　including　all　the　arcs　of　(G)　over　bar　and　such　that　for　any　vertices　x,　y,　z.　1.　if　(x,　y)　is　an　element　of　E((G)　over　bar)　and　(x,　z)　is　an　element　of　E((G)　over　bar)　then　(y,　z)　is　an　element　of　E((H)　over　bar)　or　(z,　y)　is　an　element　of　E((H)　over　bar)　(fraternity);　2.　if　(x,　y)　is　an　element　of　E((G)　over　bar)　and　(y,　z)　is　an　element　of　E((G)　over　bar)　then　(x,　z)　is　an　element　of　E((H)　over　bar)　(transitivity).　In　this　paper,　we　explore　some　generalization　of　the　transitive　fraternal　augmentations　for　directed　graphs　and　its　applications.　In　particular,　we　show　that　the　2-coloring　number　col(2)(G)　＜=　0(del(1)(G)del(0)(G)(2)),　where　del(k)(G)　(k　＞=　0)　denotes　the　greatest　reduced　average　density　with　depth　k　of　a　graph　G;　we　give　a　constructive　proof　that　del(k)(G)　bounds　the　distance　(k　+　1)-coloring　number　Col(k+1)　(G)　with　a　function　f(del(k)(G)).　On　the　other　hand,　del(k)(G)　＜=　(col(2k+1)　(G))(2k+1).　We　also　show　that　an　inductive　generalization　of　transitive　fraternal　augmentations　can　be　used　to　study　nonrepetitive　colorings　of　graphs.　(C)　2009　Elsevier　B.V.　All　rights　reserved.