Let　over(G,　→)　be　a　directed　graph.　A　transitive　fraternal　augmentation　of　over(G,　→)　is　a　directed　graph　over(H,　→)　with　the　same　vertex　set,　including　all　the　arcs　of　over(G,　→)　and　such　that　for　any　vertices　x,　y,　z,　1.if　(x,　y)　∈　E　(over(G,　→))　and　(x,　z)　∈　E　(over(G,　→))　then　(y,　z)　∈　E　(over(H,　→))　or　(z,　y)　∈　E　(over(H,　→))　(fraternity);2.if　(x,　y)　∈　E　(over(G,　→))　and　(y,　z)　∈　E　(over(G,　→))　then　(x,　z)　∈　E　(over(H,　→))　(transitivity).　In　this　paper,　we　explore　some　generalization　of　the　transitive　fraternal　augmentations　for　directed　graphs　and　its　applications.　In　particular,　we　show　that　the　2-coloring　number　col2　(G)　≤　O　(∇1　(G)　∇0　(G)2),　where　∇k　(G)　(k　≥　0)　denotes　the　greatest　reduced　average　density　with　depth　k　of　a　graph　G;　we　give　a　constructive　proof　that　∇k　(G)　bounds　the　distance　(k　+　1)-coloring　number　colk　+　1　(G)　with　a　function　f　(∇k　(G)).　On　the　other　hand,　∇k　(G)　≤　(col2　k　+　1　(G))2　k　+　1.　We　also　show　that　an　inductive　generalization　of　transitive　fraternal　augmentations　can　be　used　to　study　nonrepetitive　colorings　of　graphs.　©　2009　Elsevier　B.V.　All　rights　reserved.