A　graph　G　is　called　(H1,　H2)　-free　if　G　contains　no　induced　subgraph　isomorphic　to　H1　or　H2　.　Let　Pk　be　a　path　with　k　vertices　and　Cs,t,k　(s≤　t)　be　a　graph　consisting　of　two　intersecting　complete　graphs　Ks+k　and　Kt+k　with　exactly　k　common　vertices.　In　this　paper,　using　an　iterative　method,　we　prove　that　the　class　of　(P5,　Cs,t,k)　-free　graphs　with　clique　number　ω　has　a　polynomial　χ　-binding　function　f(ω)　=　c(s,　t,　k)　ωmax{s,k}　.　In　particular,　we　give　two　improved　chromatic　bounds:　every　(P5,　butterfly)　-free　graph　G　has　χ(G)≤32ω(G)(ω(G)-1)　;　every　(P5,　C1　,　3)　-free　graph　G　has　χ(G)　≤　9　ω(G)　.　©　2023,　The　Author(s),　under　exclusive　licence　to　Springer　Science+Business　Media,　LLC,　part　of　Springer　Nature.