This　paper　investigates　a　competitive　version　of　the　coloring　game　on　a　finite　graph　G.　An　asymmetric　variant　of　the　(r,　d)-relaxed　coloring　game　is　called　the　(r,　d)-relaxed　(a,　b)-coloring　game.　In　this　game,　two　players,　Alice　and　Bob,　take　turns　coloring　the　vertices　of　a　graph　G,　using　colors　from　a　set　X,　with　|　X　|　=　r.　On　each　turn　Alice　colors　a　vertices　and　Bob　colors　b　vertices.　A　color　α　∈　X　is　legal　for　an　uncolored　vertex　u　if　by　coloring　u　with　color　α,　the　subgraph　induced　by　all　the　vertices　colored　with　α　has　maximum　degree　at　most　d.　Each　player　is　required　to　color　an　uncolored　vertex　legally　on　each　move.　The　game　ends　when　there　are　no　remaining　uncolored　vertices.　Alice　wins　the　game　if　all　vertices　of　the　graph　are　legally　colored,　Bob　wins　if　at　a　certain　stage　there　exists　an　uncolored　vertex　without　a　legal　color.　The　d-relaxed　(a,　b)-game　chromatic　number　of　G,　denoted　(a,　b)-χgd　(G),　is　the　least　r　for　which　Alice　has　a　winning　strategy　in　the　(r,　d)-relaxed　(a,　b)-coloring　game.　This　paper　extends　the　well-studied　activation　strategy　of　coloring　games　to　relaxed　asymmetric　coloring　games.　The　extended　strategy　is　then　applied　to　the　(r,　d)-relaxed　(a,　1)-coloring　games　on　planar　graphs,　partial　k-trees　and　(s,　t)-pseudo-partial　k-trees.　This　paper　shows　that　for　planar　graphs　G,　if　a　≥　2,　then　(a,　1)-χgd　(G)　≤　6　for　all　d　≥　77.　If　H　is　a　partial　k-tree,　1　≤　a　<　k,　then　(a,　1)-χgd　(H)　≤　k　+　1　for　all　d　≥　2　k　+　frac(2　k　-　1,　a).　If　H　is　an　(s,　t)-pseudo-partial　k-tree,　a　≥　1,　let　φ　(s,　t,　k,　a)　=　(1　+　frac(1,　a))　(k2　+　s　k　+　t　k　+　s　t　+　k　+　t　+　1)　+　k　+　t,　then　(a,　1)-χgd　(H)　≤　k　+　1　for　all　d　≥　φ　(s,　t,　k,　a).　For　planar　graphs　G　and　a　≥　1,　(a,　1)-χgd　(G)　≤　3　for　all　d　≥　71　+　frac(61,　a).　These　results　extend　the　corresponding　(r,　d)-relaxed　(1,　1)-coloring　game　results　to　more　generalized　asymmetric　cases.　©　2008　Elsevier　B.V.　All　rights　reserved.