The　general　atom　bond　connectivity　index　(ABC(alpha))　of　a　graph　G　=　(V,　E)　is　defined　as　ABC(alpha)(G)　=　Sigma(uv　is　an　element　of　E(G))　(d(u)　+　d(v)　-　2/d(u)d(v))(alpha),　where　uv　is　an　edge　of　G,　d(u)　is　the　degree　of　the　vertex　u,　alpha　is　an　arbitrary　nonzero　real　number,　and　G　has　no　isolated　K-2　if　alpha　＜　0.　In　this　paper,　we　determine　the　n-vertex　(n　＞=　4)　unicyclic　graphs　with　maximal　and　second-maximal　(resp.　minimal　and　second-minimal)　ABC(alpha)　indices　for　alpha　＞　0　(resp.　-3　＜=　alpha　＜　0).　And　the　n-vertex　(n　＞=　4)　bicyclic　graphs　in　which　the　ABC(alpha)　index　attains　maximal　(resp.　minimal)　value　for　alpha　＞　0　(resp.　-1　＜=　alpha　＜　0)　are　also　obtained.